Sur le comportement asymptotique des solutions de certains problèmes d’évolution

Abstract

La présente thèse est consacrée à l’étude des différents problèmes des équations aux dérivées partielles d’évolutions de type viscoélastique avec différentes conditions aux limites (conditions aux limites non linéaires, conditions aux limites dynamiques, etc…). Nous nous intéressons à l'étude du comportement asymptotique de la solution qui se manifeste par la stabilité et l’explosion en temps fini. Nous commençons le premier chapitre de cette thèse en énonçant quelques notions préliminaires et outils indispensables pour la réalisation de ce travail. Le deuxième chapitre est voué à l'étude de l'existence locale et globale de la solution, ainsi que le comportement asymptotique de la solution d’une équation viscoélastique de type Kirchhoff avec un terme de retard et un terme source. Nous prouvons l'existence locale de la solution en utilisant la méthode de Faedo-Galerkin, et aussi nous prouvons l'existence globale de la solution en utilisant la méthode de puits de potentiel. En utilisant la méthode des fonctionnelles de Lyapunov, nous démontrons la stabilité de la solution, tandis que l'explosion de la solution en temps fini est étudiée en utilisant la méthode de Georgiev-Todorova. Le chapitre trois est destiné à la solvabilité de la solution et du comportement asymptotique d'une équation viscoélastique de type Kirchhoff avec des conditions aux limites non linéaires. Dans le quatrième chapitre, nous étudions une équation viscoélastique de type p-Laplacien avec des conditions aux limites dynamiques. Où nous démontrons que la solution globale existe ainsi que l’énergie associée au problème étudié décroit et que la solution s’explose en temps fini. Le dernier chapitre, est réservé à l’étude d’une équation viscoélastique à des exposants variables, avec un terme p(x)-Laplacien. Pour la démonstration de la stabilité nous utilisons les inégalités de Komornik, par contre pour exprimer que la solution s’explose nous utilisons la méthode de Georgiev-Todorova.