L’étude de la Stabilité et la Bifurcation de Hopf pour un modèle d’alcoolisme structuré en âge

Abstract

Dans ce travail, nous considérons un modèle d'alcoolisme dans lequel les individus alcooliques ont une structure d'âge. Nous formulons le modèle d'épidémie sous la forme d'un problème de Cauchy non homogène, puis nous étudions l'existence, l'unicité et la positivité des solutions du problème obtenu. Ensuite, nous cherchons les conditions d'existence des différents points d'équilibre du modèle proposé (le point d'équilibre trivial, et le point d'équilibre positif). Après, par la linéarisation du modèle, nous étudions la stabilité locale par le théorème de Routh-Hurwitz. Finalement, en utilisant le théorème de bifurcation, nous prouvons que la bifurcation de Hopf se produit lorsque le paramètre de bifurcation traverse certaines valeurs critiques. ملخص تعتبر ظاهرة إدمان الكحول من أخطر الظواهر المنتشرة في العالم, وهي المسببة لنسبة مقلقة للوفيات حول العالم وأيضا لبعض الأمراض المستعصية كالسرطان . في هذه المذكرة سوف ندرس نموذجا وبائيا لإدمان الكحول, نقوم بصياغة النموذج الوبائي المتعلق بعمر الإدمان لدى الأفراد المدمنين والزمن على شكل مسألة كوشي غير متجانسة, ثم ندرس وجود و وحدانية و إيجابية حل هذه المسألة. بعد ذلك نبحث عن شروط وجود نقاط التوازن المختلفة للنموذج المقترح (نقطة التوازن التافهة ، ونقطة التوازن الإيجابية) من خلال نظام خطي مكافئ لمسألة كوشي غير المتجانسة, وهذا يمكننا من دراسة الإستقرار المحلي لنقاط التوازن. ثم أخيرا باستخدام نظرية تشعب هوبف, نثبت أن تشعب هوبف يحدث عندما يتقاطع وسيط التشعب مع قيم حرجة معينة. Abstract

In this work, we investigate a new alcoholism model in which alcoholics have have age structure. We rewite the model as an abstract non densely defined Cauchy problem and obtain the condition which guarantees the existence of the unique positive steady state. By linearizing the model at steady state and analyzing the associated characteristic transcendental equations, we study the local asymptotic stability of the steady state. Furthemore, by using Hopf bifurcation theorem , we show that Hopf bifurcation occurs at the positive steady state when bifurcating parameter crosses some critical values.