Mesure et intégration

Abstract

Les mesures ont ÈtÈ introduites par Borel, quelques annÈes avant les travaux de Lebesgue, aÖn de quantiÖer les tailles de certains ensembles, et de construire des fonctions vÈriÖant certaines propriÈtÈs. A la Ön du dix-neuviËme siËcle, les limitations de la thÈorie díintÈgration de Riemann deviennent apparentes et plusieurs mathÈmaticiens cÈlÈbres (Jordan, Borel, Young, ...) se mettent en devoir de la gÈnÈraliser. Cíest Önalement la thÈorie de Lebesgue, exposÈe dans une note fondatrice de 1901, puis dÈveloppÈe dans le Cours Peccot, qui sera adoptÈe par líensemble de la communautÈ mathÈmatique. Elle se dÈveloppe ‡ partir du concept de mesure, introduit par Borel vers 1895. La thÈorie de la mesure et líintÈgration de Lebesgue seront ensuite perfectionnÈes et gÈnÈralisÈes par de nombreux mathÈmaticiens au cours du vingtiËme siËcle, en particulier (par ordre chronologique approximatif) CarathÈodory, Vitali, Radon, Riesz, Hausdor§, Kolmogorov et Besicovich. Líhistoire de la thÈorie de la mesure est associÈe au dÈveloppement de la thÈorie des probabilitÈs, ‡ celui de líanalyse harmonique moderne et meme ‡ celui de la logique axiomatique. La thÈorie de líintÈgration de Lebesgue est une gÈnÈralisation de la thÈorie de líintÈgration de Riemann. Elle est basÈe sur le concept de mesure díun ensemble qui est une extension ‡ la fois de la notion de longueur díun intervalle rÈel et de celle de probabilitÈ díun ÈvÈnement alÈatoire. Cette mÈmoire constitue une introduction ÈlÈmentaire rigoureuse et relativement complËte ‡ la thÈorie de la mesure et ‡ líintÈgation, outil thÈorique essentiel de líanalyse mathÈmatique