Cours d'Analyse Numérique 2 Pour le deuxième Année Mathématiques

Abstract

DíaprËs les historiens, le calcul numÈrique remonte au moins au troisiËme millÈnaire avant notre Ëre. Il est ‡ líorigine favorisÈ par le besoin díe§ectuer des mesures dans di§Èrents domaines

de la vie courante, notamment en agriculture, commerce, architecture, gÈographie et naviga- tion ainsi quíen astronomie. Il semble que les Babyloniens (qui peuplaient líactuelle Syrie/Iraq)

sont parmi les premiers ‡ rÈaliser des calculs algÈbriques et gÈomÈtriques alliant complexitÈ et haute prÈcision. Surtout, ils donnent une importance et un sens au placement relatif des chi§res constituant un nombre, cíest-‡-dire ‡ introduire la notion de base de dÈnombrement, en líoccurrence, la base sexagÈsimale que nous avons Öni par adopter dans certains domaines. Ils se distinguent ainsi díautres civilisations, mÍme bien plus rÈcentes, qui dÈveloppent des mÈthodes plus lourdes, en introduisant une plÈthore de symboles. Il y a environ 3500 ans, les populations de la vallÈe de líIndus (rÈgions de líInde et du Pakistan) introduisent les notions de zÈro et emploient les nombres nÈgatifs. Il adapte Ègalement le systËme de comptage Babylonien au

systËme dÈcimal qui est le nÙtre aujourdíhui. Ces premiers outils de calcul sont largement dÈ- veloppÈs par la suite par les Grecs, puis transmis en Europe par líintermÈdiaire des civilisations

musulmanes peuplant le bassin mÈditerranÈen. Le calcul numÈrique tel que nous le concevons pratiquement aujourdíhui connaÓt son premier vÈritable essor ‡ partir du XVIIËme siËcle avec les progrËs fulgurants des MathÈmatiques et de la Physique, plus ou moins liÈs aux observations et aux calculs astronomiques. Plusieurs machines de calcul sont en e§et construites, comme la nPascaline" inventÈe par B. Pascal en 1643. Babbage en 1834 mais qui fonctionnait mal, ou encore le tabulateur de H. Hollerith spÈcialement conÁu pour recenser la population amÈricaine, vers 1890. Il síagit bien-entendu de machines mÈcaniques imposantes et díutilisation assez limitÈe. Le manque de moyens de calcul performants limite en fait líexpansion et la validation de certaines thÈories du dÈbut du XXËme siËcle. Ce fut le cas en particulier de la thÈorie de la RelativitÈ GÈnÈrale due ‡ A. Einstein. La Seconde Guerre Mondiale et les progrËs technologiques quíelle engendre va permettre au calcul numÈrique díamorcer un second envol. Les anglais mettent au point le premier ordinateur en 1939, Colossus, dont la mission est de dÈcrypter les messages codes envoyÈes par líÈmetteur ENIGMA de líAllemagne nazie. Cette machine introduit les concepts rÈvolutionnaires Èmis par A. Turing dans les annÈes 1936 concernant líautomatisation des calculs. Les calculateurs sont dÈsormais entiËrement Èlectroniques. Autre machine qui fait date dans líhistoire, le ENIAC (nElectronic Numerical Integrator And Computer) construit en 1946. Malheureusement, ce type de machine ne dispose pas de mÈmoire interne et doit Ítre en permanence reprogrammÈe.

A la Ön des annÈes 1940, un certain J. von Neumann repense líarchitecture des ordina- teurs et introduit, entre autres, les mÈmoires permettant de sauvegarder les programmes, et les

concepts de hardware (matÈriel) et de software (logiciel). La premiËre machine de calcul incluant les concepts de von Neumann (et ceux de Turing) est ainsi produite par la Örme amÈricaine IBM ; elle síappelle MARK I et pËse 5 tonnes. Les premiËres applications concernent tous les domaines sciatiques et techniques. Le FORTRAN I, un langage de programmation destine aux scientiÖques, est conÁu dËs 1954. . . mais il lui manque un vrai compilateur. Vers la Ön des annÈes 1960, líapparition progressive des transistors et de leur assemblage massif sur des surfaces de plus en plus rÈduites augmente considÈrablement les performances des machines et permet des simulations numÈriques de rÈalisme croissant. Cet e§ort de minia- turisation est díailleurs imposÈ par la course ‡ la conquÍte de líespace. Apparaissent ainsi en

1970 les fameux microprocesseurs mis au point par les Örmes Intel et Motorola qui Èquipent la majeure partie des sondes spatiales de líÈpoque. Le calcul numÈrique devient rapidement

une science ‡ part entiËre. Les annÈes 70 marquent aussi le tournant pour les langages de pro- grammation : certains sont dÈÖnitivement produits ‡ des Öns scientiÖques, alors que díautres

seront pensÈs pour la gestion, comme le Cobol. Au dÈbut des annÈes 1980, líordinateur le plus

puissant du monde síappelle CRAY I. Sa forme est spÈcialement choisie pour optimiser la rapi- ditÈ des calculs. Cíest aussi le dÈbut de líinformatique familiale avec la mise sur le marchÈ des

PERSONAL COMPUTERS DíIBM En une quinzaine díannÈes, la rapiditÈ des calculateurs a ÈtÈ multipliÈe par plus de 10000. La vitesse díexÈcution des opÈrations ÈlÈmentaires se compte maintenant en dizaines de millions de millions díopÈrations ‡ la seconde (ou dizaines de TÈra-áops, ‡ comparer ‡ la centaine de mÈga -áops du CRAY I). Les capacitÈs de stockage ont gagnÈ 7 ordres de grandeur au moins. Aujourdíhui, toutes ces performances doublent tous les ans. Pour le monde scientiÖque, celui de la Recherche Fondamentale et de líIndustrie, les calculateurs et le dÈveloppement de techniques de programmation spÈciÖques (comme la programmation parallËle) sont devenus des outils incontournables ‡ la connaissance et ouvrent de nouveaux horizons pour la modÈlisation et la comprÈhension des phÈnomËnes complexes et la mise au point de nouvelles technologies. On regroupe sous le terme gÈnÈrique de "mÈthodes numÈriques", toutes les techniques de

calcul qui permettent de rÈsoudre de maniËre exacte ou, le plus souvent, de maniËre appro- chÈe un problËme donnÈ. Le concept de calcul est assez vaste et doit Ítre pris au sens large.

Il peut síagir de dÈterminer líinconnue díune Èquation, de calculer la valeur díune fonction en un point ou sur un intervalle, díintÈgrer une fonction, díinverser une matrice, etc. Bien que la mise en Èquation díun problËme et sa rÈsolution passent naturellement par les MathÈmatiques,

les problÈmatiques sous-jacentes concernent des disciplines aussi variÈes que la Physique, líAs- trophysique, la Biologie, la MÈdecine, líEconomie, etc. Il existe ainsi une grande variÈtÈ de

problËmes possibles avec pour chacun díeux, des mÈthodes trËs spÈciÖques. De fait, le nombre total de mÈthodes numÈriques dont nous disposons ‡ líheure actuelle est vraisemblablement gigantesque.

Une mÈthode numÈrique met en úuvre une certaine procÈdure, une suite díopÈrations, gÈnÈ- ralement en tries grand nombre, que líon transcrira ensuite dans un langage de programmation.

Bien quíune mÈthode numÈrique puisse síe§ectuer mentalement (du moins avec un crayon et un papier) comme inverser une matrice 2x2, rÈsoudre tan x

1 = 0, ou calculer p

2, elle nÈcessite dans la majoritÈ des cas un ordinateur qui a líavantage de la rapiditÈ (mais pas de la prÈcision). Il convient ‡ ce niveau de bien di§Èrencier la partie mÈthode numÈrique, souvent indÈpendante

du calculateur et du langage, et la partie programmation qui met en úuvre díune part líalgo- rithme et díautre part une suite díinstructions Ècrites dans un langage de programmation. Bien

s ̊r, une mÈthode numÈrique pourra dÈpendre de líarchitecture díun ordinateur et du langage utilisÈ. Toutefois, líun des soucis majeurs de líutilisateur et du programmeur est díassurer ‡ son programme une certaine portabilitÈ, cíest-‡-dire de pouvoir líexÈcuter sur des machines di§Èrentes sans avoir besoin díadaptations (trop) spÈciÖques. Les mÈthodes numÈriques sont indispensables ‡ la rÈalisation de programmes de calculs ou codes de calcul. En particulier, pour les astrophysiciens qui ne bÈnÈÖcient pas díun laboratoire permettant de valider leurs thÈories ‡ partir díexpÈriences renouvelables ‡ loisir et contrÙlables, ces outils sont le seul moyen de simuler ou de modÈliser les phÈnomËnes que nous observons, de les interprÈter et de les comprendre. Rappelons que les mÈthodes numÈriques sont en e§et

prÈsentent dans toutes les disciplines de líAstrophysique moderne : la cosmologie, líinstrumen- tation, le traitement de donnÈes, la planÈtologie, la physique solaire, la physique des galaxies,

la physique extragalactique, etc. Síil est vrai quíil existe une trËs grande diversitÈ de mÈthodes numÈriques avec lesquelles ont peut, en pratique, quasiment tout faire, certains problËmes (par exemple en traitement du signal, en mÈcanique cÈleste ou en mÈcanique des áuides) ont nÈcessitÈ la mise au point de mÈthodes trËs spÈciÖques. Líobjet de líanalyse numÈrique est de concevoir et díÈtudier des mÈthodes de rÈsolution de certains problËmes mathÈmatiques, en gÈnÈral issus de la modÈlisation de problËmes ìrÈels", et dont on cherche ‡ calculer la solution ‡ líaide díun ordinateur. Le cours est structurÈ en quatre grands chapitres : ñRÈsolution des systËmes linÈaires ñCalcul des valeurs et vecteurs propres ñSystËmes non linÈaires ñEquations di§Èrentielles.