Recent advences in averaged contrillability of hyperbolic PDEs

Abstract

The aim of this memory is to study the averagedcontrollability for parameter-dependentsystems. Wediscuss the notion of averaged control which has been introducedrecently by E.Zauzua . Weapply the method HUM whereitisbased on uniquenesscriteria (the direct and inverse inequalities) to somehyperbolicequationswith an unknownparameter. First, we consider the problem of controllability for linear finite and infinite dimensional systems and we give the averaged rank condition for averaged controllability. Secondly, westudy the averagedcontrollability of waveequationdepending on a parameterwhen the control isapplied on the boundary, by using the Hilbert Uniqueness Method (the method HUM) which has been introduced by J.L. Lions, wherethismethodallows us to design the avraged control of ourparameter-dependentwaveequation. Finally, westudywith the same argument of the HUM method the problem of vibrating plate equationdepending on a parameterwhen the control isapplied on the boundaryalso.

Résumé L'objectif de ce mémoire est d'étudier la contrôlabilité moyenne pour des systèmes dépendants de paramètres. Nous discutons la notion de contrôle moyenné récemment introduite par E.Zauzua. Nous appliquons la méthode HUM où elle est basée sur des critères d'unicité (les inégalités directes et inverses) à quelques équations hyperboliques avec un paramètre inconnu. Premièrement, nous considérons le problème de la contrôlabilité pour les systèmes linéaires de dimension finie et infinie et nous donnons la condition de rang moyen pour la contrôlabilité moyenne. Deuxièmement, nous étudions la contrôlabilité moyenne de l'équation d'onde en fonction d'un paramètre lorsque le contrôle est appliqué sur la frontière, en utilisant la méthode d'unicité de Hilbert (la méthode HUM) qui a été introduite par J.L. Lions ,où cette méthode nous permet de concevoir le contrôle moyen de notre équation d'onde dépendante des paramètres. Enfin, nous étudions avec le même argument de la méthode HUM le problème de l'équation de la plaque vibrante dépendant d'un paramètre lorsque le contrôle est appliqué sur la frontière aussi.